Tạo thói quen khai thác giải thiết bài toán
Đăng lúc 8/09/2012 11:36:00 AM

Từ bài toán giải hệ phương trình trong đề thi Đại Học khối A năm 2010, tác giả bài viết Trần Quốc Luật sinh viên lớp 50A Đại Học Vinh đã “mổ xẻ” đề bài để từ đó khai thác triệt để đặc điểm của từng phương trình trong hệ cho ra những cách giải hay và độc đáo

Trong đề thi Đại Học Khối A 2010 có bài toán “phân loại” như sau:
Bài toán: Giải hệ phương trình: 

Trước hết, ta đặt điều kiện laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người .
Rõ ràng đây là một hệ phương trình không mẫu mực.
Ta hãy xem xét từng phương trình của hệ.
Nhận thấy phương trình (1) có 2 ẩn “phân ly ” “rời nhau” (có thể “cô lập” mỗi ẩn sang một vế của phương trình) đồng thời chứa  một biểu thức trong dấu căn (hơn nữa bậc của x và laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người  bằng nhau và bằng 3).
          Ta khai thác triệt để những điều này như sau. Trước hết cô lập mỗi ẩn về mỗi vế ta được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
 Đặt laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người,
ta có laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Đến đây ta đã phát hiện ra hàm đặc trưng  laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Rỗ ràng   laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
nên hàm này đồng biến do đó t = 2x hay laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Với bản chất như vậy, ngoài cách trình bày trên ta còn có thể trình bày bước này như sau:
Cách 1.1 : Đặt laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người, ta có ngay (1) trở thành laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Suy ra laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Cách 1.2: Ta có :
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Vấn đề đã được giải quyết một nửa, ta sẽ xử  lý phương trình (2) với điều kiện (3)
Cách 2.1: Thay (3) vào (2) ta có
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Cách 2.2: Nhận thấy x = 0 và laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người đều không phải là nghiệm nên laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Thay laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người vào phương trình thứ 2 ta được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Trong khoảng laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người hàm số:
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người nghịch biến
Thật vậy, ta có
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Mặt khác ta lại có laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Vì vậy phương trình g(x) = 7 chỉ có một nghiệm duy nhất laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Cách 2.3: Viết lại (4 ) dưới dạng f(x) = g(x) với laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người và laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Khảo sát riêng lẻ f(x); g(x) thấy trên khoảng laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người hàm f(x) nghịch biến , g(x) đồng biến nên (4) có nghiệm duy nhất
Cách 2.4: Đặt laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Ta có:
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Nếu laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thì từ (3) ta có y < 2. Do vậy laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Hệ (*) vô nghiệm
Nếu laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thì y = 2, thỏa mãn
Nếu laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thì từ (3) ta có y > 2. Do vậy laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Hệ (*) vô nghiệm
Cách 2.5: Thay laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người vào (2) ta được :
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Đặt a = y – 1 thì ta được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Đặt laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
ta có laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Cách trình bày 1:
+) Nếu a > 1 thì b < 1 nên c > 1, do vậy a < 1, vô lý
+) Nếu  a= 1 thì b = c = 1, thỏa mãn. Thay vào ta có nghiệm của hệ (*) là laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Cách trình bày 2:
Không mất tính tổng quát, giả sử laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Từ laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn ngườicó laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Tương tự laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Do vậy laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Đẳng thức xảy ra khi a = b= 1. Từ đó a = b = c= 1.
Cách 2.6:
“Làm chặt” điều kiện được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Chú ý với điều kiện này thị các hàm laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người đồng biến , đồng thời
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người và laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người nghịch biến.
Ta đánh giá:
Với laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thì từ (1) ta có laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
                       từ (2) laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người(mâu thuẫn)
Với laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người tương tự ta có mâu thuẫn.
Vậy laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thay vào thấy thỏa mãn
Cách 2.7: Khử y ta có:
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
ĐặtlaTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thì laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Khử x ta có:
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
Bài tập tương tự áp dụng:
Giải các hệ phương trình sau:

Trích Tạp chí "Toán học và sinh viên" Trường Đại học Vinh 11/2010

LIÊN QUAN
BÌNH LUẬN